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電路的二階系統化

一些(xie)常(chang)見的反饋電路，通(tong)常(chang)都是二階系(xi)統(tong)，我們以運放(fang)容性帶(dai)載為(wei)例來討論：

*運放的容(rong)性負載(zai)? ? *典型通用(yong)運放的開環增益曲線

一(yi)(yi)個典型(xing)通用運放的開環增(zeng)益曲線如上圖所示。它(ta)一(yi)(yi)般擁有一(yi)(yi)個低頻的主極(ji)點，如100Hz，高頻極(ji)點通常會被設(she)計為遠高于穿越頻率，所以(yi)常規的運放電(dian)路是穩定(ding)的。

當(dang)運放存在容性(xing)負載(zai)的(de)(de)時候(hou)，開(kai)環輸出電抗(Zo)與輸出電容(Co)形(xing)成的(de)(de)極(ji)點會處在反(fan)饋環路內，當(dang)極(ji)點頻率靠近(jin)或小于穿越(yue)頻率，則會使得系統的(de)(de)相位裕度明顯降低，導致不穩定的(de)(de)情況(kuang)發生。

所以，一個運放(fang)帶容性負載的(de)放(fang)大電路，其傳(chuan)遞函數可以表(biao)示(shi)為：

其(qi)中，K為運放的DC開環增益，β是(shi)反(fan)饋(kui)系數(作(zuo)為跟隨器(qi)時，β=1，100倍(bei)放大時，β=0.01)。

1/τa是運放的低頻主極點的角頻率，1/τb是Zo和Co產生寄生極點的角頻率。可見，τa>>?τb。

上式可被轉換為標準的二階系(xi)統

由于K為運放的DC開環(huan)增益，所以Kβ>>1

其(qi)中，ωn為電路的自然頻率，ξ為阻(zu)尼系數，且

我們知道，系統處于欠阻尼狀態，即0<ξ<1，才會存在過沖的情況。

對一個標(biao)準的(de)二階系(xi)統來說，

當??

求得階躍響應第一個峰(feng)值對應的(de)時間(jian)為：

所以過沖為? ?

因此我們(men)可以繪(hui)制如下過(guo)沖與(yu)阻尼系數的(de)曲線

*過沖與(yu)阻尼系數的關(guan)系

過(guo)沖(chong)可以經由在輸(shu)入端給予一個小的(de)階躍信號(hao)，并測量輸(shu)出端得到(dao)。如下(xia)圖是在ξ=0.35的(de)系統中在1ms時使用100mV階躍輸(shu)入所測得的(de)過(guo)沖(chong)情況，過(guo)沖(chong)為31%。

相位(wei)裕(yu)量與阻尼系數的關(guan)系

為了求(qiu)得系統穿越(yue)頻率ωc?，可令|A(s)β|=1

求(qiu)得? ?

所以(yi)相位裕(yu)度

具此我們(men)可以繪制如下相位裕量與阻尼(ni)系數的曲線

*相(xiang)位裕(yu)量與阻尼系數的關系

相(xiang)位(wei)裕(yu)量(liang)與過沖(chong)的關系(xi)

由此(ci)，我們(men)借由阻尼(ni)系數，得(de)到(dao)相位裕(yu)量與(yu)過沖的關系，繪制曲線(xian)如下(xia)

*相位裕(yu)量(liang)與過沖的關系

由上圖(tu)可知，當(dang)相位(wei)裕量大(da)于(yu)70?以上時(shi)已經幾(ji)乎沒(mei)有過沖

相位裕量60? 時， OS(60?)≈8.8%

相(xiang)位裕量(liang)45? 時， OS(45?) ≈23.4%